PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN

1.        Latar Belakang

Matematika merupakan salah satu cabang ilmu pengetahuan yang sangat penting dalam kehidupan sehari – hari. Manusia dalam melakukan kegiatan sehari – hari tentunya tidak lepas dari apa yang ada dalam matematika. Akan tetapi kebanyakan orang tidak menyadari bahwa apa yang dilakukannya tersebut merupakan bagian dari matematika. Kegiatan – kegiatan seperti menghitung bilangan, menjumlahkan dan lain sebagainya merupaka bagian dari cabang ilmu matematika yang paling dasar.

2.       Persamaan Linier Satu Peubah

Persamaan   linier   satu   peubah  adalah  persamaan  yang  hanya   memuat sebuah peubah dan pangkat dari peubahnya adalah satu.

Contoh:

1.       2x + 7 = 6x + 3 ,       merupakan persamaan linier satu peubah karena peubahnya satu (yaitu  x ) dan pangkatnya adalah 1.

2.       3 y + 6m = 8 , bukan persamaan linier satu peubah karena peubahnya ada dua (yaitu  y dan  m ).

3.       x 2 - 9 =  0 ,  bukan  persamaan  linier  satu  peubah  walaupun  peubahnya hanya satu tetapi pangkat dari peubahnya adalah dua.

1.       Penyelesaian Suatu Persamaan

Menyelesaikan suatu persamaan artinya adalah mencari nilai pengganti dari peubah sehin gga menjadi pernyataan yang benar.

Contoh:

5t - 6 = - 11, adalah persamaan linier satu peubah.

t = - 1   merupakan  penyelesaian  persamaan  itu  karena  jika t diganti dengan –1, maka pernyataan  5(- 1) - 6 = - 11  merupakan pernyataan yang benar. Sedangkan t = 1       bukan penyelesaian karena   jika t diganti dengan  1,  maka  pernyataan   5(1) - 6 = - 11  merupakan  pernyataan  yang salah.

2.       Cara mencari penyelesaian persamaan linier satu peubah

Tiga langkah berikut            dapat dilakukan dalam menyelesaikan persamaan linier dengan satu peubah:

1.         Menambah kedua ruas dengan bilangan yang sama.

2.         Mengurangi kedua ruas dengan bilangan yang sama.

3.         Membagi  atau  mengalikan  kedua  ruas  dengan  bilangan  yang  sama yang bukan nol.

Contoh:

Tentukan  penyelesaian  dari  persamaan   2x - 3 = - 3x + 7    dan  tentukan himpunan penyelesaiannya!

Penyelesaian:

2x - 3 = - 3x + 7

3x + 2 x - 3 = 3x + (- 3x ) + 7   ............  (kedua ruas ditambah dengan 3x )

5x - 3 = 7

5x - 3 + 3 = 7 + 3   .......................... (kedua ruas ditambah 3)

5x = 10

x=2   ........................................  (kedua ruas dibagi dengan 5 )

Himpunan penyelesaiannya adalah: { 2}.

3.       Pertidaksamaan Linier Satu Peubah

Pertidaksamaan linier satu peubah adalah pertidaksamaan yang hanya  memuat  sebuah  peubah  dan  pangkat  dari  peubahnya adalah satu.

Contoh:

1.         2n + 9 = 21,   merupakan pertidaksamaan linier satu peubah banyak peubahnya satu (yaitu n ) dan pangkatnya adalah 1.

2.         5t + 7m = 12 ,             bukan pertidaksamaan linier satu peubah karena peubahnya dua (yaitu  t dan  m ).

3.            y + 4 = 3y2  + 3 ,    bukan pertidaksamaan linier satu peubah walaupun peubahnya hanya satu tetapi paubahnya ada yang berpangkat 2.

1.       Cara mencari penyelesaian pertidaksamaan linier satu peubah

Hal-hal yang perlu diperhatikan dalam menyelesaikan  pertidaksa-maan linier  satu peubah adalah:

1.       Jika kedua ruas suatu pertidaksamaan  ditambah  atau  dikurangi dengan bilangan yang sama, maka tanda pertidaksamaan tetap.

2.         Jika kedua ruas suatu pertidaksamaan dikalikan atau dibagi dengan bilangan                     positif      yang sama dan tidak           nol, maka tanda pertidaksamaan tetap.

3.         Jika kedua ruas suatu pertidaksamaan dikalikan atau dibagi dengan bilangan                     negatif yang sama dan tidak nol, maka tanda pertidaksamaan menjadi sebaliknya.

4.       Persamaan Kuadrat

Persamaan kuadrat (dalam           x ) adalah persamaan dimana pangkat dari  x  adalah bilangan asli dan pangkat tertingginya adalah 2. Secara umum persamaan kuadrat (dalam  x ) berbentuk:

ax2  + bx + c = 0 ; a  0.

1.       Cara menyelesaikan persamaan kuadrat

1.         Cara Memfaktorkan

Langkah-langkah:

a.       Persamaan kuadrat dinyatakan dalam bentuk  ax2  + bx + c = 0 ; a ≠ 0

b.      Kedua ruas dibagi dengan  a  sehingga koefisien dari x² adalah 1, akhirnya persamaan kuadrat semula berbentuk  x 2  + bx + c =  0 .

c.       Tentukan dua buah faktor  c  kalau  dijumlahkan  sama  dengan b misalkan dua faktor itu adalah  q  dan  s , maka

q + s = b

x2  + bx + c = (x +  q)( x + s) = 0 ,

q.s = c

sehingga  ( x + q ) =  0  atau  ( x +  s) =  0.

Jadi penyelesaiannya adalah  x =  - q  atau  x =  - s .

2.         Cara melengkapkan kuadrat sempurna

Menyelesaikan persamaan kuadrat dengan melengkapkan kuadrat sempurna dilakukan jika persamaan kuadrat sulit dicari menggunakan pemfaktoran. Langkah untuk menentukan himpunan penyelesaian dengan cara menggunakan kuadrat sempurna yaitu:

a.            ubah persamaan kuadrat kedalam bentuk persamaan kuadrat sempurna dengan menentukan nilai c,

b.      substitusikan c kepersamaan kuadrat awal sehingga menjadi bentuk kuadrat baru yaitu kuadrat sempurna.

c.       carilah nilai akar-akar dari persamaan kuadrat sempurna yang sudah peroleh.

3.         Dengan menggunakan  rumus

Menyelesaikan persamaan kuadrat dapat juga dilakukan dengan menggunakan rumus. Penurunan rumus dilakukan dengan cara melengkapkan kuadrat sempurna. Berikur adalah uraian penurunan rumus tersebut:

ax2  + bx + c = 0

disebut diskriminan persamaan kuadrat ax2  + bx + c = 0 dan dinyatakan dengan D sehingga D = , maka didapat:

5.       Pertidaksamaan Kuadrat

Pertidaksamaan kuadrat (dalam x ) adalah pertidaksamaan dimana pangkat  dari  x adalah bilangan  asli  dan pangkat tertingginya adalah 2.

Langkah-langkah untuk menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat adalah sebagai berikut:

1.       Nyatakan pertidaksamaan  kuadrat  ke  bentuk  salah  satu  ruas  sama dengan nol dan ruas yang lain adalah bentuk kuadrat.

2.         Tentukan pembuat nol dari bentuk kuadrat itu.

3.         Letakkan pembuat nol dalam garis bilangan .

4.         Tentukan tanda dari setiap daerah pada garis bilangan.

5.         Tentukan penyelesaiannya sesuai yang dikehendaki pada pertidak-samaan.

1.       Jenis Akar Persamaan Kuadrat

1.         Jika D > 0, maka ax2  + bx + c = 0 memiliki dua akar real yang berlainan

2.         Jika D = 0, maka ax2  + bx + c = 0 memiliki dua akar real yang sama.

3.         Jika D < 0, maka ax2  + bx + c = 0 akar-akarnya tidak real.

2.         Jumlah dan Hasil Kali Akar-akar Persamaan Kuadrat

Persamaan kuadrat ax2  + bx + c = 0 mempunyai dua akar x₁ dan x₂ yang nilainya adalah: x₁  &  x₂

3.         Menyusun Persamaan Kuadrat yang Diketahui Akar-akarya

Untuk menyusun persamaan kuadrat baru dapat dilakukan dengan dua cara, yaitu:

1.      dengan perkalian faktor, misalkan kedua akar yang diketahui masing-masing x₁ dan x₂, maka persamaan kuadrat baru:

2.      dengan menggunakan jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan yaitu      (x₁ + x₂) dan (), maka persamaan kuadrat baru:

6.         Persamaan Linier Dua Variabel/Peubah

Persamaan yang memuat dua peubah, pangkat peubahnya adalah satu dan tidak ada perkalian atau pembagian antar peubah itu disebut persamaan linier dua peubah.

1.            Sistem Persamaan Linier Dua Variabel/Peubah

Dua atau lebih dari persamaan linier dua peubah yang berlaku secara serentak  disebut  sistem  persamaan  linier  dua  peubah.  Untuk  menotasikan persamaan-persamaan itu berlaku secara serentak digunakan notasi ”}”.

2.    Menyelesaikan Sistem Persamaan Linier Dua Variabel/Peubah

Menyelesaikan sistem persamaan linier dua peubah artinya adalah mencari nilai pengganti dari setiap peubah nilai  yang  dimaksud, maka persamaan itu berubah menjadi kalimat yang bernilai  benar.

1.       Cara Grafik

a.       Gambarlah (pada bidang koordinat) grafik garis lurus yang menyatakan himpunan penyelesaian dari masing-masing persamaan.

b.       Tentukan  titik  potong  kedua  garis  tersebut  (jika  ada).  Koordinat  titik potong        itulah    merupakan pasangan penyelesaian dari sistem persamaan yang dimaksud. Tentukan  titik  potong  kedua  garis  tersebut  (jika  ada).  Koordinat  titik potong itulah      merupakan pasangan penyelesaian dari sistem persamaan yang dimaksud.

2.         Cara Eliminasi

Mengeliminasi artinya menghilangkan. Cara eliminasi dilakukan dengan cara ”menghilangkan” salah satu peubah. Dengan demikian, persamaan yang semula terdiri dari dua peubah akhirnya menjadi satu peubah. Selanjutnya dapat ditentukan penyelesaiannya.

3.         Cara Substitusi

Mensubstitusi artinya adalah menggantikan. Cara substitusi dilakukan  dengan  cara  mencari  nilai  salah  satu  peubah  pada  suatu persamaan kemudian  menggantikan  nilai  itu  pada  persamaan  yang  lain. Cara ini lebih efisien jika dilakukan untuk menyelesaikan sistem persamaan linier  yang  peubahnya  ada  yang  berkoefisien  1.

Catatan:

Sering  kali  dalam  menyelesaikan  suatu  SPL  digunakann  cara eliminasi  dan  substitusi  sekaligus  pada  suatu  soal.  Cara  yang demikian dinamakan cara kombinasi eliminasi dan substitusi.

7.         Persamaan Linier Tiga Variabel/Peubah

Persamaan yang memuat tiga peubah, pangkat peubahnya adalah satu dan tidak ada perkalian atau pembagian antar peubah itu disebut persamaan linier tiga peubah.

1.            Sistem Persamaan Linier Tiga Variabel/Peubah

Dua atau lebih dari persamaan linier tiga peubah yang berlaku secara serentak disebut sistem persamaan  linier  tiga  peubah.  Untuk  menotasikan persamaan-persamaan itu berlaku secara serentak digunakan notasi ”}”.

2.            Menyelesaikan Sistem Persamaan Linier Tiga Variabel/Peubah

Menyelesaikan sistem persamaan linier tiga variabel/peubah artinya mencari nilai pengganti dari setiap            peubah nilai yang  dimaksud, maka persamaan itu berubah menjadi kalimat yang bernilai  benar.

1.       Cara Eliminasi

Cara  eliminasi  untuk  menyelesaikan  sistem  persamaan  linier  dua peubah dapat dikembangkan untuk menyelesaikan sistem persamaan linier tiga peubah. Langkah-langkahnya juga sama seperti dalam menyelesaikan sistem  persamaan  linier  dua  peubah.

2.         Cara Substitusi

Cara substitusi yang dilakukan untuk menyelesaikan sistem persamaan  linier dua peubah juga dapat dilakukan untuk  menyelesaikan sistem persamaan linier tiga peubah.

3.      Cara Determinan

Bentuk persamaan:

D =                                                                

   = (a₁b₂c₃ + b₁c₂a₃ + c₁a₂b₃) – (a₃b₂c₁ + b₃c₂a₁ + c₃a₂b₁)

Dx =

     = (k₁b₂c₃ + b₁c₂k₃ + c₁k₂b₃) – (k₃b₂c₁ + b₃c₂k₁ + c₃k₂b₁)

Dy =  

          = (a₁k₂c₃ + k₁c₂a₃ + c₁a₂k₃) – (a₃k₂c₁ + k₃c₂a₁ + c₃a₂k₁)

Dz =  

          = (a₁b₂k₃ + b₁k₂a₃ + k₁a₂b₃) – (a₃b₂k₁ + b₃k₂a₁ + k₃a₂b₁)

Jadi Persamaan   linier   satu   peubah  adalah  persamaan  yang  hanya   memuat sebuah peubah dan pangkat dari peubahnya adalah satu.

Pertidaksamaan linier satu peubah adalah pertidaksamaan yang hanya  memuat  sebuah  peubah  dan  pangkat  dari  peubahnya adalah satu.

Persamaan kuadrat (dalam           x ) adalah persamaan dimana pangkat dari  x  adalah bilangan asli dan pangkat tertingginya adalah 2. Secara umum persamaan kuadrat (dalam  x ) berbentuk:

ax2  + bx + c = 0 ; a  0.

Pertidaksamaan kuadrat (dalam x ) adalah pertidaksamaan dimana pangkat  dari  x adalah bilangan  asli  dan pangkat tertingginya adalah 2.

Persamaan yang memuat dua peubah, pangkat peubahnya adalah satu dan tidak ada perkalian atau pembagian antar peubah itu disebut persamaan linier dua peubah

Persamaan yang memuat tiga peubah, pangkat peubahnya adalah satu dan tidak ada perkalian atau pembagian antar peubah itu disebut persamaan linier tiga peubah

( dari berbagai sumber )